|
|
|
|
|
ÇÍÀÊÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ |
Áîëüøàÿ ñîâåòñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ (ÁÝÑ) |
óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé, ïðåäëîæåíèé è âûêëàäîê. Íàïðèìåð, v2
(êâàäðàòíûé êîðåíü èç äâóõ), 3 > 2 (òðè áîëüøå äâóõ) è ò.ï.
Ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêîé ñèìâîëèêè áûëî òåñíî ñâÿçàíî ñ îáùèì ðàçâèòèåì ïîíÿòèé è ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè. Ïåðâûìè Ç. ì. áûëè çíàêè äëÿ èçîáðàæåíèÿ ÷èñåë — Öèôðû, âîçíèêíîâåíèå êîòîðûõ, ïî-âèäèìîìó, ïðåäøåñòâîâàëî ïèñüìåííîñòè. Íàèáîëåå äðåâíèå ñèñòåìû íóìåðàöèè — âàâèëîíñêàÿ è åãèïåòñêàÿ — ïîÿâèëèñü åù¸ çà 31/2 òûñÿ÷åëåòèÿ äî í. ý.
Ïåðâûå Ç. ì. äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåëè÷èí ïîÿâèëèñü ìíîãî ïîçäíåå (íà÷èíàÿ ñ 5—4 ââ. äî í. ý.) â Ãðåöèè. Âåëè÷èíû (ïëîùàäè, îáú¸ìû, óãëû) èçîáðàæàëèñü â âèäå îòðåçêîâ, à ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïðîèçâîëüíûõ îäíîðîäíûõ âåëè÷èí — â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà ñîîòâåòñòâóþùèõ îòðåçêàõ.  «Íà÷àëàõ» Åâêëèäà (3 â. äî í. ý.) âåëè÷èíû îáîçíà÷àþòñÿ äâóìÿ áóêâàìè — íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé áóêâàìè ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðåçêà, à èíîãäà è îäíîé. Ó Àðõèìåäà (3 â. äî íàøåé ýðû) ïîñëåäíèé ñïîñîá ñòàíîâèòñÿ îáû÷íûì. Ïîäîáíîå îáîçíà÷åíèå ñîäåðæàëî â ñåáå âîçìîæíîñòè ðàçâèòèÿ áóêâåííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Îäíàêî â êëàññè÷åñêîé àíòè÷íîé ìàòåìàòèêå áóêâåííîãî èñ÷èñëåíèÿ ñîçäàíî íå áûëî.
Íà÷àòêè áóêâåííîãî èçîáðàæåíèÿ è èñ÷èñëåíèÿ âîçíèêàþò â ïîçäíåýëëèíèñòè÷åñêóþ ýïîõó â ðåçóëüòàòå îñâîáîæäåíèÿ àëãåáðû îò ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû. Äèîôàíò (âåðîÿòíî, 3 â.) çàïèñûâàë íåèçâåñòíóþ (õ) è å¸ ñòåïåíè ñëåäóþùèìè çíàêàìè:
0156693855.tif
[ 0114814105.tif — îò ãðå÷åñêîãî òåðìèíà (dynamis — ñèëà), îáîçíà÷àâøåãî êâàäðàò íåèçâåñòíîé, 0127747869.tif — îò ãðå÷åñêîãî (k_ybos) — êóá]. Ñïðàâà îò íåèçâåñòíîé èëè å¸ ñòåïåíåé Äèîôàíò ïèñàë êîýôôèöèåíòû, íàïðèìåð 3õ5 èçîáðàæàëîñü
0160983533.tif
(x3 + 8x) — (5x2 + 1) = õ
ó Äèîôàíòà çàïèñàëîñü áû òàê:
(çäåñü 0101470896.tif
îçíà÷àåò, ÷òî åäèíèöà 0177841647.tif íå èìååò ìíîæèòåëÿ â âèäå ñòåïåíè íåèçâåñòíîãî).
Íåñêîëüêî âåêîâ ñïóñòÿ èíäèéöû ââåëè ðàçëè÷íûå Ç. ì. äëÿ íåñêîëüêèõ íåèçâåñòíûõ (ñîêðàùåíèÿ íàèìåíîâàíèé öâåòîâ, îáîçíà÷àâøèõ íåèçâåñòíûå), êâàäðàòà, êâàäðàòíîãî êîðíÿ, âû÷èòàåìîãî ÷èñëà. Òàê, óðàâíåíèå
3õ2 + 10x — 8 = x2 + 1
â çàïèñè Áðàõìàãóïòû (Ñì. Áðàõìàãóïòà) (7 â.) èìåëî áû âèä:
éà âà 3 éà 10 ðó 8
éà âà 1 éà 0 ðó 1
(éà — îò éàâàò — òàâàò — íåèçâåñòíîå, âà — îò âàðãà — êâàäðàòíîå ÷èñëî, ðó — îò ðóïà — ìîíåòà ðóïèÿ — ñâîáîäíûé ÷ëåí, òî÷êà íàä ÷èñëîì îçíà÷àåò âû÷èòàåìîå ÷èñëî).
Ñîçäàíèå ñîâðåìåííîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèìâîëèêè îòíîñèòñÿ ê 14—17 ââ.; îíî îïðåäåëÿëîñü óñïåõàìè ïðàêòè÷åñêîé àðèôìåòèêè è ó÷åíèÿ îá óðàâíåíèÿõ.  ðàçëè÷íûõ ñòðàíàõ ñòèõèéíî ïîÿâëÿþòñÿ Ç. ì. äëÿ íåêîòîðûõ äåéñòâèé è äëÿ ñòåïåíåé íåèçâåñòíîé âåëè÷èíû. Ïðîõîäÿò ìíîãèå äåñÿòèëåòèÿ è äàæå âåêà, ïðåæäå ÷åì âûðàáàòûâàåòñÿ òîò èëè èíîé óäîáíûé ñèìâîë. Òàê, â êîíöå 15 è. Í. Øþêå è Ë. Ïà÷îëè óïîòðåáëÿëè çíàêè ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ
0161175354.tif
(îò ëàò. plus è minus), íåìåöêèå ìàòåìàòèêè ââåëè ñîâðåìåííûå + (âåðîÿòíî, ñîêðàùåíèå ëàò. et) è —. Åù¸ â 17 â. ìîæíî íàñ÷èòàòü îêîëî äåñÿòêà Ç. ì. äëÿ äåéñòâèÿ óìíîæåíèÿ.
Ðàçëè÷íû áûëè è Ç. ì. íåèçâåñòíîé è å¸ ñòåïåíåé.  16 — íà÷àëå 17 ââ. êîíêóðèðîâàëî áîëåå äåñÿòè îáîçíà÷åíèé äëÿ îäíîãî òîëüêî êâàäðàòà íåèçâåñòíîé, íàïðèìåð ñå (îò census — ëàòèíñêèé òåðìèí, ñëóæèâøèé ïåðåâîäîì ãðå÷åñêîãî , Q (îò quadratum), 0150537807.tif , A (2), 0159042143.tif , Aii, aa, a2 è äð. Òàê, óðàâíåíèå
x3 + 5x = 12
èìåëî áû ó èòàëüÿíñêîãî ìàòåìàòèêà Äæ. Êàðäàíî (1545) âèä:
ó íåìåöêîãî ìàòåìàòèêà Ì. Øòèôåëÿ (1544):
ó èòàëüÿíñêîãî ìàòåìàòèêà Ð. Áîìáåëëè (1572):
0182080546.tif
ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Ô. Âèåòà (1591):
ó àíãëèéñêîãî ìàòåìàòèêà Ò. Ãàððèîòà (1631):
0182089822.tif
 16 è íà÷àëå 17 ââ. âõîäÿò â óïîòðåáëåíèå çíàêè ðàâåíñòâà è ñêîáêè: êâàäðàòíûå (Ð. Áîìáåëëè, 1550), êðóãëûå (Í. Òàðòàëüÿ, 1556), ôèãóðíûå (Ô. Âèåò, 1593).  16 â. ñîâðåìåííûé âèä ïðèíèìàåò çàïèñü äðîáåé.
Çíà÷èòåëüíûì øàãîì âïåð¸ä â ðàçâèòèè ìàòåìàòè÷åñêîé ñèìâîëèêè ÿâèëîñü ââåäåíèå Âèåòîì (1591) Ç. ì. äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí â âèäå ïðîïèñíûõ ñîãëàñíûõ áóêâ ëàòèíñêîãî àëôàâèòà Â, D, ÷òî äàëî åìó âîçìîæíîñòü âïåðâûå çàïèñûâàòü àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè è îïåðèðîâàòü èìè. Íåèçâåñòíûå Âèåò èçîáðàæàë ãëàñíûìè ïðîïèñíûìè áóêâàìè À, Å,... Íàïðèìåð, çàïèñü Âèåòà
[cubus — êóá, planus — ïëîñêèé, ò. å.  — äâóìåðíàÿ âåëè÷èíà; solidus — òåëåñíûé (òð¸õìåðíûé), ðàçìåðíîñòü îòìå÷àëàñü äëÿ òîãî, ÷òîáû âñå ÷ëåíû áûëè îäíîðîäíû] â íàøèõ ñèìâîëàõ âûãëÿäèò òàê:
x3 + 3bx = d.
Âèåò ÿâèëñÿ òâîðöîì àëãåáðàè÷åñêèõ ôîðìóë. Ð. Äåêàðò (1637) ïðèäàë çíàêàì àëãåáðû ñîâðåìåííûé âèä, îáîçíà÷àÿ íåèçâåñòíûå ïîñëåäíèìè áóêâàìè ëàò. àëôàâèòà õ, ó, z, à ïðîèçâîëüíûå äàííûå âåëè÷èíû — íà÷àëüíûìè áóêâàìè à, b, ñ. Åìó æå ïðèíàäëåæèò íûíåøíÿÿ çàïèñü ñòåïåíè. Îáîçíà÷åíèÿ Äåêàðòà îáëàäàëè áîëüøèì ïðåèìóùåñòâîì ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåìè ïðåäûäóùèìè. Ïîýòîìó îíè ñêîðî ïîëó÷èëè âñåîáùåå ïðèçíàíèå.
Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå Ç. ì. áûëî òåñíî ñâÿçàíî ñ ñîçäàíèåì àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ, äëÿ ðàçðàáîòêè ñèìâîëèêè êîòîðîãî îñíîâà áûëà óæå â áîëüøîé ìåðå ïîäãîòîâëåíà â àëãåáðå.
Äàòû âîçíèêíîâåíèÿ íåêîòîðûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàêîâ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| çíàê | çíà÷åíèå | Êòî ââ¸ë | Êîãäà ââåä¸í |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Çíàêè èíäèâèäóàëüíûõ îáúåêòîâ |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | áåñêîíå÷íîñòü | Äæ. Âàëëèñ | 1655 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| e | îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ | Ë. Ýéëåð | 1736 |
| | ëîãàðèôìîâ | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | îòíîøåíèå äëèíû îêðóæíîñòè | Ó. Äæîíñ | 1706 |
| | ê äèàìåòðó | Ë. Ýéëåð | 1736 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| i | êîðåíü êâàäðàòíûé èç -1 | Ë. Ýéëåð | 1777 (â ïå÷àòè |
| | | | 1794) |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| i j k | åäèíè÷íûå âåêòîðû, îðòû | Ó. Ãàìèëüòîí | 1853 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Ï (à) | óãîë ïàðàëëåëüíîñòè | Í.È. Ëîáà÷åâñêèé | 1835 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Çíàêè ïåðåìåííûõ îáúåêòîâ |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| x,y, z | íåèçâåñòíûå èëè ïåðåìåííûå | Ð. Äåêàðò | 1637 |
| | âåëè÷èíû | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| r | âåêòîð | Î. Êîøè | 1853 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Çíàêè èíäèâèäóàëüíûõ îïåðàöèé |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| + | ñëîæåíèå | íåìåöêèå ìàòåìàòèêè | Êîíåö 15 â. |
|--------------------------------------------------------------------------| | |
| – | âû÷èòàíèå | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | óìíîæåíèå | Ó. Îóòðåä | 1631 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | óìíîæåíèå | Ã. Ëåéáíèö | 1698 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| : | äåëåíèå | Ã. Ëåéáíèö | 1684 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| a2, a3,…, an | ñòåïåíè | Ð. Äåêàðò | 1637 |
|------------------------| |------------------------------------------------------------------------|
| | | È. Íüþòîí | 1676 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 0179528285.tif | êîðíè | Ê. Ðóäîëüô | 1525 |
| | |------------------------------------------------------------------------|
| | | À. Æèðàð | 1629 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Log | ëîãàðèôì | È. Êåïëåð | 1624 |
|------------------------| |------------------------------------------------------------------------|
| log | | Á. Êàâàëüåðè | 1632 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| sin | ñèíóñ | Ë. Ýéëåð | 1748 |
|--------------------------------------------------------------------------| | |
| cos | êîñèíóñ | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| tg | òàíãåíñ | Ë. Ýéëåð | 1753 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| arc.sin | àðêñèíóñ | Æ. Ëàãðàíæ | 1772 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Sh | ãèïåðáîëè÷åñêèé ñèíóñ | Â. Ðèêêàòè | 1757 |
|--------------------------------------------------------------------------| | |
| Ch | ãèïåðáîëè÷åñêèé êîñèíóñ | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| dx, ddx, … | äèôôåðåíöèàë | Ã. Ëåéáíèö | 1675 (â ïå÷àòè |
|------------------------| | | 1684) |
| d2x, d3x,… | | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 0194652338.tif | èíòåãðàë | Ã. Ëåéáíèö | 1675 (â ïå÷àòè |
| | | | 1686) |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 0169785289.tif | ïðîèçâîäíàÿ | Ã. Ëåéáíèö | 1675 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 'x | ïðîèçâîäíàÿ | Æ. Ëàãðàíæ | 1770, 1779 |
|------------------------| | | |
| y’ | | | |
|------------------------| | | |
| '(x) | | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| x | ðàçíîñòü | Ë. Ýéëåð | 1755 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 0186116679.tif | ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ | À. Ëåæàíäð | 1786 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 0150423805.tif | îïðåäåë¸ííûé èíòåãðàë | Æ. Ôóðüå | 1819-22 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | ñóììà | Ë. Ýéëåð | 1755 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Ï | ïðîèçâåäåíèå | Ê. Ãàóññ | 1812 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| ! | ôàêòîðèàë | Ê. Êðàìï | 1808 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| |x| | ìîäóëü | Ê. Âåéåðøòðàññ | 1841 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| lim | ïðåäåë | Ó. Ãàìèëüòîí, | 1853, |
|------------------------| | ìíîãèå ìàòåìàòèêè | íà÷àëî 20 â. |
| lim | | | |
|------------------------| | | |
| n = | | | |
|------------------------| | | |
| lim | | | |
|------------------------| | | |
| n > | | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | äçåòà-ôóíêöèÿ | Á. Ðèìàí | 1857 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Ã | ãàììà-ôóíêöèÿ | À. Ëåæàíäð | 1808 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Â | áåòà-ôóíêöèÿ | Æ. Áèíå | 1839 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | äåëüòà (îïåðàòîð Ëàïëàñà) | Ð. ̸ðôè | 1833 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | íàáëà (îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà) | Ó. Ãàìèëüòîí | 1853 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Çíàêè ïåðåìåííûõ îïåðàöèé |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| x | ôóíêöèÿ | È. Áåðíóëè | 1718 |
|------------------------| |------------------------------------------------------------------------|
| f (x) | | Ë. Ýéëåð | 1734 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Çíàêè èíäèâèäóàëüíûõ îòíîøåíèé |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| = | ðàâåíñòâî | Ð. Ðåêîðä | 1557 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| > | áîëüøå | Ò. Ãàððèîò | 1631 |
|--------------------------------------------------------------------------| | |
| < | ìåíüøå | | |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | ñðàâíèìîñòü | Ê. Ãàóññ | 1801 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| || | ïàðàëëåëüíîñòü | Ó. Îóòðåä | 1677 |
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü | Ï. Ýðèãîí | 1634 |
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
È. Íüþòîí â ñâî¸ì ìåòîäå ôëþêñèé è ôëþåíò (1666 è ñëåäóþùèå ãã.) ââ¸ë çíàêè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ôëþêñèé (ïðîèçâîäíûõ) âåëè÷èíû (â âèäå
0172619194.tif
è äëÿ áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïðèðàùåíèÿ o. Íåñêîëüêî ðàíåå Äæ. Âàëëèñ (1655) ïðåäëîæèë çíàê áåñêîíå÷íîñòè .
Ñîçäàòåëåì ñîâðåìåííîé ñèìâîëèêè äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ Ã. Ëåéáíèö. Åìó, â ÷àñòíîñòè, ïðèíàäëåæàò óïîòðåáëÿåìûå íûíå Ç. ì. äèôôåðåíöèàëîâ
dx, d 2x, d 3x
è èíòåãðàëà
0168215533.tif
Îãðîìíàÿ çàñëóãà â ñîçäàíèè ñèìâîëèêè ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè ïðèíàäëåæàò Ë. Ýéëåðó. Îí ââ¸ë (1734) â îáùåå óïîòðåáëåíèå ïåðâûé çíàê ïåðåìåííîé îïåðàöèè, èìåííî çíàê ôóíêöèè f (x) (îò ëàò. functio). Ïîñëå ðàáîò Ýéëåðà çíàêè äëÿ ìíîãèõ èíäèâèäóàëüíûõ ôóíêöèé, íàïðèìåð òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ, ïðèîáðåëè ñòàíäàðòíûé õàðàêòåð. Ýéëåðó æå ïðèíàäëåæàò îáîçíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ å (îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ, 1736), [âåðîÿòíî, îò ãðå÷åñêîãî (periphereia) — îêðóæíîñòü, ïåðèôåðèÿ, 1736], ìíèìîé åäèíèöû
0117293894.tif
(îò ôðàíöóçñêîãî imaginaire — ìíèìûé, 1777, îïóáëèêîâàíî â 1794).
 19 â. ðîëü ñèìâîëèêè âîçðàñòàåò.  ýòî âðåìÿ ïîÿâëÿþòñÿ çíàêè àáñîëþòíîé âåëè÷èíû |x| (Ê. Âåéåðøòðàññ, 1841), âåêòîðà r (Î. Êîøè, 1853), îïðåäåëèòåëÿ
0108895444.tif
(À. Êýëè, 1841) è äð. Ìíîãèå òåîðèè, âîçíèêøèå â 19 â., íàïðèìåð Òåíçîðíîå èñ÷èñëåíèå, íå ìîãëè áûòü ðàçâèòû áåç ïîäõîäÿùåé ñèìâîëèêè.
Íàðÿäó ñ óêàçàííûì ïðîöåññîì ñòàíäàðòèçàöèè Ç. ì. â ñîâðåìåííîé ëèòåðàòóðå âåñüìà ÷àñòî ìîæíî âñòðåòèòü Ç. ì., èñïîëüçóåìûå îòäåëüíûìè àâòîðàìè òîëüêî â ïðåäåëàõ äàííîãî èññëåäîâàíèÿ.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, ñðåäè Ç. ì. ìîæíî íàìåòèòü ñëåäóþùèå îñíîâíûå ãðóïïû: À) çíàêè îáúåêòîâ, Á) çíàêè îïåðàöèé, Â) çíàêè îòíîøåíèé. Íàïðèìåð, çíàêè 1, 2, 3, 4 èçîáðàæàþò ÷èñëà, ò. å. îáúåêòû, èçó÷àåìûå àðèôìåòèêîé. Çíàê îïåðàöèè ñëîæåíèÿ + ñàì ïî ñåáå íå èçîáðàæàåò íèêàêîãî îáúåêòà; îí ïîëó÷àåò ïðåäìåòíîå ñîäåðæàíèå, êîãäà óêàçàíî, êàêèå ÷èñëà ñêëàäûâàþòñÿ: çàïèñü 1 + 3 èçîáðàæàåò ÷èñëî 4. Çíàê > (áîëüøå) åñòü çíàê îòíîøåíèÿ ìåæäó ÷èñëàìè. Çíàê îòíîøåíèÿ ïîëó÷àåò âïîëíå îïðåäåë¸ííîå ñîäåðæàíèå, êîãäà óêàçàíî, ìåæäó êàêèìè îáúåêòàìè îòíîøåíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ. Ê ïåðå÷èñëåííûì òð¸ì îñíîâíûì ãðóïïàì Ç. ì. ïðèìûêàåò ÷åòâ¸ðòàÿ: Ã) âñïîìîãàòåëüíûå çíàêè, óñòàíàâëèâàþùèå ïîðÿäîê ñî÷åòàíèÿ îñíîâíûõ çíàêîâ. Äîñòàòî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå î òàêèõ çíàêàõ äàþò ñêîáêè, óêàçûâàþùèå ïîðÿäîê ïðîèçâîäñòâà äåéñòâèé.
Çíàêè êàæäîé èç òð¸õ ãðóïï À), Á) è Â) áûâàþò äâóõ ðîäîâ: 1) èíäèâèäóàëüíûå çíàêè âïîëíå îïðåäåë¸ííûõ îáúåêòîâ, îïåðàöèé è îòíîøåíèé, 2) îáùèå çíàêè «íåðåìåííûõ», èëè «íåèçâåñòíûõ», îáúåêòîâ, îïåðàöèé è îòíîøåíèé.
Ïðèìåðû çíàêîâ ïåðâîãî ðîäà ìîãóò ñëóæèòü (ñì. òàêæå òàáëèöó):
A1) Îáîçíà÷åíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë å è ; ìíèìîé åäèíèöû i.
Á1) Çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé +, —, ·, ,:; èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ 0192035444.tif , äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
0166425698.tif
çíàêè ñóììû (îáúåäèíåíèÿ) è ïðîèçâåäåíèÿ (ïåðåñå÷åíèÿ) ìíîæåñòâ; ñþäà æå îòíîñÿòñÿ çíàêè èíäèâèäóàëüíûõ ôóíêöèé sin, tg, log è ò.ï.
B1) Çíàêè ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà =, >, <, , çíàêè ïàðàëëåëüíîñòè || è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè , çíàêè ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó è âêëþ÷åíèÿ îäíîãî ìíîæåñòâà â äðóãîå è ò.ï.
Çíàêè âòîðîãî ðîäà èçîáðàæàþò ïðîèçâîëüíûå îáúåêòû, îïåðàöèè è îòíîøåíèÿ îïðåäåë¸ííîãî êëàññà èëè îáúåêòû, îïåðàöèè è îòíîøåíèÿ, ïîä÷èí¸ííûå êàêèì-ëèáî çàðàíåå îãîâîð¸ííûì óñëîâèÿì. Íàïðèìåð, ïðè çàïèñè òîæäåñòâà (a + b)(a — b) = a2 — b2 áóêâû à è b îáîçíà÷àþò ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà; ïðè èçó÷åíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ó = õ2 áóêâû õ è ó — ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà, ñâÿçàííûå çàäàííûì îòíîøåíèåì; ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ
x2 — 1 = 0
õ îáîçíà÷àåò ëþáîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå äàííîìó óðàâíåíèþ (â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû óçíà¸ì, ÷òî ýòîìó óñëîâèþ ñîîòâåòñòâóþò ëèøü äâà âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿ +1 è —1).
Ñ ëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, çàêîííî òàêîãî ðîäà îáùèå çíàêè íàçûâàòü çíàêàìè ïåðåìåííûõ, êàê ýòî ïðèíÿòî â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, íå ïóãàÿñü òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî «îáëàñòü èçìåíåíèÿ» ïåðåìåííîãî ìîæåò îêàçàòüñÿ ñîñòîÿùåé èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî îáúåêòà èëè äàæå «ïóñòîé» (íàïðèìåð, â ñëó÷àå óðàâíåíèé, íå èìåþùèõ ðåøåíèÿ). Äàëüíåéøèìè ïðèìåðàìè òàêîãî ðîäà çíàêîâ ìîãóò ñëóæèòü:
A2) Îáîçíà÷åíèÿ òî÷åê, ïðÿìûõ, ïëîñêîñòåé è áîëåå ñëîæíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð áóêâàìè â ãåîìåòðèè.
Á2) Îáîçíà÷åíèÿ f, F, äëÿ ôóíêöèé è îáîçíà÷åíèÿ îïåðàòîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ, êîãäà îäíîé áóêâîé L èçîáðàæàþò, íàïðèìåð, ïðîèçâîëüíûé îïåðàòîð âèäà:
0145124565.tif
Îáîçíà÷åíèÿ äëÿ «ïåðåìåííûõ îòíîøåíèé» ìåíåå ðàñïðîñòðàíåíû, îíè íàõîäÿò ïðèìåíåíèå ëèøü â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå (ñì. Àëãåáðà ëîãèêè) è â ñðàâíèòåëüíî àáñòðàêòíûõ, ïî ïðåèìóùåñòâó àêñèîìàòè÷åñêèõ, ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ.
Ëèò.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1—2, Chi., 1928—29.
|
Ñîâðåìåííàÿ Ýíöèêëîïåäèÿ |
ÇÍÀÊÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ, óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ, ñëóæàùèå äëÿ çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé, ïðåäëîæåíèé è âûêëàäîê. Íàïðèìåð, ìàòåìàòè÷åñêèå çíàêè +, -, =, >(áîëüøå), (çíàê êîðíÿ), sin (ñèíóñ), (èíòåãðàë) è ò.ä. Ïåðâûìè çíàêàìè ìàòåìàòè÷åñêèìè, âîçíèêøèìè çà 3,5 òûñ. ëåò äî íàøåé ýðû, áûëè çíàêè äëÿ èçîáðàæåíèÿ ÷èñåë - öèôðû. Ñîçäàíèå ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñèìâîëèêè îòíîñèòñÿ ê 14 - 18 ââ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|